【群論】有限体の乗法群が巡回群になることの証明

問題

有限体Kの乗法群K*が巡回群になることを示せ。

証明の流れ

NをK*の元が取る最大の位数としたとき、K*の任意の元のN乗が1であることを示す。

N<#K*なら矛盾するので、N=#K*が示される。

証明

Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。

K*の元の内、最大の位数を取る元をx、その位数をNとおく。y∈K*に対して、xyの位数がmであるとする。mがNの約数なら、(xy)N=1であり、yN=1。mがNの約数でないなら、x-mの位数はNになるので、yの位数はNになる。yで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる。つまり、yN=1。

Kは体なので、方程式XN=1のK上の解の数はN以下であるが、K*の任意の元がXN=1の解となるので、#K*≦Nとなる。#K*≧Nは自明なので、N=#K*

以上より、K*はxで生成される巡回群となる。

補足

なぜN=#K*を示すのか?:N=#Kなら、xの巡回群の位数が#K*となり、(xの巡回群)=#Kとなるから。

mがNの約数でないなら、x-mの位数はNになる:x-mの位数がk(≠N)なら、x-mk=1となるが、-mkがNの倍数でないのでおかしい。

yで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる:ラグランジュの定理(「部分群の位数は、それを含む群の位数の約数になる」)より、yの位数はNの倍数となるが、K*の元が取る最大の位数はNなので、yの位数はNとなる。

#K*≧Nは自明:位数が、その集合の要素数を超えることはない。もし、N>#K*となるなら、xの巡回群の要素数は#K*を上回るので、おかしい。