【群論】有限体の乗法群が巡回群になることの証明

問題

有限体Kの乗法群K*が巡回群になることを示せ。

証明の流れ

NをK*の元が取る最大の位数としたとき、K*の任意の元のN乗が1であることを示す。

N<#K*なら矛盾するので、N=#K*が示される。

証明

Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。

K*の元の内、最大の位数を取る元をx、その位数をNとおく。y∈K*に対して、xyの位数がmであるとする。ｍがNの約数なら、(xy)^N=1であり、y^N=1。ｍがNの約数でないなら、x^-mの位数はNになるので、y^ｍの位数はNになる。y^ｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる。つまり、y^N=1。

Kは体なので、方程式X^N=1のK上の解の数はN以下であるが、K*の任意の元がX^N=1の解となるので、#K*≦Nとなる。#K*≧Nは自明なので、N=#K*

以上より、K*はxで生成される巡回群となる。

補足

なぜN=#K*を示すのか？：N=#Kなら、xの巡回群の位数が#K*となり、(xの巡回群)=#Kとなるから。

ｍがNの約数でないなら、x^-mの位数はNになる：x^-mの位数がk（≠N）なら、x^-mk＝1となるが、-mkがNの倍数でないのでおかしい。

y^ｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる：ラグランジュの定理（「部分群の位数は、それを含む群の位数の約数になる」）より、yの位数はNの倍数となるが、K*の元が取る最大の位数はNなので、yの位数はNとなる。

#K*≧Nは自明：位数が、その集合の要素数を超えることはない。もし、N>#K*となるなら、xの巡回群の要素数は#K*を上回るので、おかしい。