【数学】フーリエ変換の意味を知る

ディラックのデルタ関数の定義

任意の関数fとの内積<δ,f>がf(0)になる超関数δのこと。

普通の関数っぽく例えるなら、x=0で∞、それ以外では0であり、全体の積分が1となるようなもの。

別の言葉で言えば、x=0に100％集まった確率分布。

用途から見れば、x=0での値を取り出す関数（のようなもの）。

※超関数は簡単にいえば「分布」です。

ｆのフーリエ変換は、ｆをe^iwxという形の無限和で表したときの、係数の分布と大きさを表すものです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-2πiξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

sinxのフーリエ変換は、(i/2)δ(ξ-1/2π)+(-i/2)δ(ξ+1/2π)となります。

これは、ｆのe^(-2πiξx)という形の無限和表示において、ξ=1/2πのときの係数がi/2、ξ=-1/2πのときの係数が-i/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(i/2)e^(-ix)+(-i/2)e^(ix)と表せるということです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-iξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

cosxのフーリエ変換は、(1/2)δ(ξ-1)+(1/2)δ(ξ+1)となります。

これは、ｆのe^(-iξx)という形の無限和表示において、ξ=1のときの係数が1/2、ξ=-1のときの係数が1/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(1/2)e^(-ix)+(1/2)e^(ix)と表せるということです。

1のフーリエ変換は、δ(ξ)

↓他の例

フーリエ変換の途中式は書いていませんが、割と大変です。

フーリエ変換の定義式は、流派によって少し違う（e^(-2πiξx)かe^(-iξx)）こともありますが、本質的には同じです。上記のように、δ関数の引数が少し変わるだけで、本質的に表す意味は同じです。

上記のように、フーリエ変換は関数ではない超関数になることもあります。