東大文系数学(2001)第4問
白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも１つあることを示せ。
その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる。ただし、碁石が１つも残らない場合も同数とみなす。
↓解答（※初見の人用）
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少し雑な解答
左から1つ目の碁石が黒石ならOK。白石の場合を考える。「左からｎ個の黒石の数ー左からｎ個の白石の数」をf(n)と置く。このとき、f(1)=-1、f(361)=1である。fは1ずつしか変化しないので、f(m)=0であり、f(m)=1となるようなｍが存在する■
上より丁寧な解答
一番左の碁石が黒石ならOK。一番左の碁石が白石の場合を考える。「左からｎ個の黒石の数ー左からｎ個の白石の数」をf(n)と置く。fは1ずつしか変化しないので、f(1)=-1、f(361)=1より、f(m)=0となるmが存在する。f(m)=0となるｍの中で、f(m+1)=1となるものが存在しなければ、f(361)=1となることに反する。よって、f(m)=0、f(m+1)=1となるようなｍが存在する■