数学 - なぜナビ

2025年3月14日2025年3月14日

【東大文系数学】「361個の碁石」問題の簡単な解答

東大文系数学(2001)第4問 

　白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでいても、次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも１つあることを示せ。
　その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる。ただし、碁石が１つも残らない場合も同数とみなす。

↓解答（※初見の人用）

↓

少し雑な解答

左から1つ目の碁石が黒石ならOK。白石の場合を考える。「左からｎ個の黒石の数ー左からｎ個の白石の数」をf(n)と置く。このとき、f(1)=-1、f(361)=1である。fは1ずつしか変化しないので、f(m)=0であり、f(m)=1となるようなｍが存在する■

上より丁寧な解答

一番左の碁石が黒石ならOK。一番左の碁石が白石の場合を考える。「左からｎ個の黒石の数ー左からｎ個の白石の数」をf(n)と置く。fは1ずつしか変化しないので、f(1)=-1、f(361)=1より、f(m)=0となるmが存在する。f(m)=0となるｍの中で、f(m+1)=1となるものが存在しなければ、f(361)=1となることに反する。よって、f(m)=0、f(m+1)=1となるようなｍが存在する■

2025年1月13日2025年1月13日

【数学】フーリエ変換の意味を知る

ディラックのデルタ関数の定義

任意の関数fとの内積<δ,f>がf(0)になる超関数δのこと。

ディラックのデルタ関数のイメージ

普通の関数っぽく例えるなら、x=0で∞、それ以外では0であり、全体の積分が1となるようなもの。

別の言葉で言えば、x=0に100％集まった確率分布。

用途から見れば、x=0での値を取り出す関数（のようなもの）。

※超関数は簡単にいえば「分布」です。

フーリエ変換

ｆのフーリエ変換は、ｆをe^iwxという形の無限和で表したときの、係数の分布と大きさを表すものです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-2πiξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

sinxのフーリエ変換は、(i/2)δ(ξ-1/2π)+(-i/2)δ(ξ+1/2π)となります。

これは、ｆのe^(-2πiξx)という形の無限和表示において、ξ=1/2πのときの係数がi/2、ξ=-1/2πのときの係数が-i/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(i/2)e^(-ix)+(-i/2)e^(ix)と表せるということです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-iξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

cosxのフーリエ変換は、(1/2)δ(ξ-1)+(1/2)δ(ξ+1)となります。

これは、ｆのe^(-iξx)という形の無限和表示において、ξ=1のときの係数が1/2、ξ=-1のときの係数が1/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(1/2)e^(-ix)+(1/2)e^(ix)と表せるということです。

フーリエ変換の計算例

1のフーリエ変換は、δ(ξ)

↓他の例

http://zakii.la.coocan.jp/fourie/12_miscellaneous.htm

フーリエ変換の捕捉

フーリエ変換の途中式は書いていませんが、割と大変です。

フーリエ変換の定義式は、流派によって少し違う（e^(-2πiξx)かe^(-iξx)）こともありますが、本質的には同じです。上記のように、δ関数の引数が少し変わるだけで、本質的に表す意味は同じです。

上記のように、フーリエ変換は関数ではない超関数になることもあります。

2022年10月22日2025年4月13日

【群論】有限体の乗法群が巡回群になることの証明

問題

有限体Kの乗法群K*が巡回群になることを示せ。

証明の流れ

補題「位数nの群Gがある。nの約数dに対して、x^d=1となる元がd個以下なら、Gは巡回群」を示す。

補題は、「群の元を元の位数で分類するとき、位数dのグループには、φ(d)個の元が存在する。」ことから示せる。

体の性質と補題より示せる。

補題の証明

補題「位数nの群Gがある。nの約数dに対して、x^d=1となる元がd個以下なら、Gは巡回群」を示す。

位数dとなるGの元xが存在するなら、xで生成される巡回群<x>の位数はdであり、<x>のd個の元はx^d=1を満たす。仮定より、x^d=1となる元はd個以下なので、任意の位数dの元は<x>を生成する。<x>の生成元は、「1≦x≦dの中で、dと互いに素である自然数xの数」個ある。これをφ(d)と置く。

φ(d)は、1≦x≦nの中で、nとの最大公約数がn/dである自然数の数と等しい。1からnまでの整数は、最大公約数によって分類されるので、nの約数dに対するφ(d)の和はnとなる。

以上より、nの元を元の位数で分類すると、位数dのグループの元は、存在すればφ(d)個となる。もし、位数dの元が存在しなければ、nの約数dに対するφ(d)の和がnとなることに反する。d=nの場合を考えると、Gが巡回群であることが分かる。

証明

Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。

Kは体なので、方程式X^d=1のK上の解の数はd以下であり、それらは全てK*の元である。よって、補題より、K*は巡回群となる。

捕捉

φ(d)は、オイラー関数と呼ばれる有名な関数です。

証明の流れ（誤り）

~~NをK*の元が取る最大の位数としたとき、K*の任意の元のN乗が1であることを示す。~~

~~N<#K*なら矛盾するので、N=#K*が示される。~~

証明（誤り）

Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。

K*の元の内、最大の位数を取る元をx、その位数をNとおく。y∈K*に対して、xyの位数がmであるとする。ｍがNの約数なら、(xy)^N=1であり、y^N=1。ｍがNの約数でないなら、x^-mの位数はNになるので、y^ｍの位数はNになる。y^ｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる。つまり、y^N=1。

Kは体なので、方程式X^N=1のK上の解の数はN以下であるが、K*の任意の元がX^N=1の解となるので、#K*≦Nとなる。#K*≧Nは自明なので、N=#K*

以上より、K*はxで生成される巡回群となる。