カテゴリー: 数学

ディラックのデルタ関数の定義

任意の関数fとの内積<δ,f>がf(0)になる超関数δのこと。

ディラックのデルタ関数のイメージ

普通の関数っぽく例えるなら、x=0で∞、それ以外では0であり、全体の積分が1となるようなもの。

別の言葉で言えば、x=0に100％集まった確率分布。

用途から見れば、x=0での値を取り出す関数（のようなもの）。

※超関数は簡単にいえば「分布」です。

フーリエ変換

ｆのフーリエ変換は、ｆをe^iwxという形の無限和で表したときの、係数の分布と大きさを表すものです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-2πiξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

sinxのフーリエ変換は、(i/2)δ(ξ-1/2π)+(-i/2)δ(ξ+1/2π)となります。

これは、ｆのe^(-2πiξx)という形の無限和表示において、ξ=1/2πのときの係数がi/2、ξ=-1/2πのときの係数が-i/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(i/2)e^(-ix)+(-i/2)e^(ix)と表せるということです。

∫[-∞→∞]f(x)e^(-iξx)dxとフーリエ変換を定義すれば、

cosxのフーリエ変換は、(1/2)δ(ξ-1)+(1/2)δ(ξ+1)となります。

これは、ｆのe^(-iξx)という形の無限和表示において、ξ=1のときの係数が1/2、ξ=-1のときの係数が1/2であることを意味します。

言い換えると、f(x)=(1/2)e^(-ix)+(1/2)e^(ix)と表せるということです。

フーリエ変換の計算例

1のフーリエ変換は、δ(ξ)

↓他の例

http://zakii.la.coocan.jp/fourie/12_miscellaneous.htm

フーリエ変換の捕捉

フーリエ変換の途中式は書いていませんが、割と大変です。

フーリエ変換の定義式は、流派によって少し違う（e^(-2πiξx)かe^(-iξx)）こともありますが、本質的には同じです。上記のように、δ関数の引数が少し変わるだけで、本質的に表す意味は同じです。

上記のように、フーリエ変換は関数ではない超関数になることもあります。

問題

有限体Kの乗法群K*が巡回群になることを示せ。

証明の流れ

NをK*の元が取る最大の位数としたとき、K*の任意の元のN乗が1であることを示す。

N<#K*なら矛盾するので、N=#K*が示される。

証明

Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。

K*の元の内、最大の位数を取る元をx、その位数をNとおく。y∈K*に対して、xyの位数がmであるとする。ｍがNの約数なら、(xy)^N=1であり、y^N=1。ｍがNの約数でないなら、x^-mの位数はNになるので、y^ｍの位数はNになる。y^ｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる。つまり、y^N=1。

Kは体なので、方程式X^N=1のK上の解の数はN以下であるが、K*の任意の元がX^N=1の解となるので、#K*≦Nとなる。#K*≧Nは自明なので、N=#K*

以上より、K*はxで生成される巡回群となる。

補足

なぜN=#K*を示すのか？：N=#Kなら、xの巡回群の位数が#K*となり、(xの巡回群)=#Kとなるから。

ｍがNの約数でないなら、x^-mの位数はNになる：x^-mの位数がk（≠N）なら、x^-mk＝1となるが、-mkがNの倍数でないのでおかしい。

y^ｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる：ラグランジュの定理（「部分群の位数は、それを含む群の位数の約数になる」）より、yの位数はNの倍数となるが、K*の元が取る最大の位数はNなので、yの位数はNとなる。

#K*≧Nは自明：位数が、その集合の要素数を超えることはない。もし、N>#K*となるなら、xの巡回群の要素数は#K*を上回るので、おかしい。