問題
有限体Kの乗法群K*が巡回群になることを示せ。
証明の流れ
NをK*の元が取る最大の位数としたとき、K*の任意の元のN乗が1であることを示す。
N<#K*なら矛盾するので、N=#K*が示される。
証明
Kを有限体とし、K*をKの乗法群とする。
K*の元の内、最大の位数を取る元をx、その位数をNとおく。y∈K*に対して、xyの位数がmであるとする。ｍがNの約数なら、(xy)N=1であり、yN=1。ｍがNの約数でないなら、x-mの位数はNになるので、yｍの位数はNになる。yｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる。つまり、yN=1。
Kは体なので、方程式XN=1のK上の解の数はN以下であるが、K*の任意の元がXN=1の解となるので、#K*≦Nとなる。#K*≧Nは自明なので、N=#K*
以上より、K*はxで生成される巡回群となる。
補足
なぜN=#K*を示すのか？：N=#Kなら、xの巡回群の位数が#K*となり、(xの巡回群)=#Kとなるから。
ｍがNの約数でないなら、x-mの位数はNになる：x-mの位数がk（≠N）なら、x-mk＝1となるが、-mkがNの倍数でないのでおかしい。
yｍで生成される巡回群は、yで生成される巡回群の部分群なので、yの位数はNとなる：ラグランジュの定理（「部分群の位数は、それを含む群の位数の約数になる」）より、yの位数はNの倍数となるが、K*の元が取る最大の位数はNなので、yの位数はNとなる。
#K*≧Nは自明：位数が、その集合の要素数を超えることはない。もし、N>#K*となるなら、xの巡回群の要素数は#K*を上回るので、おかしい。